При каких значениях параметра "a" уравнение x⁴-8x²+7=a имеет два корня? (графически знаю как, нужно алгебраически). Ответ: при a=7 и a меньше -9.

Далее в тексте будем подразумевать под биквадратным трёхчленом и его коэффициентами выражение [latex] t^2 - 8 t + [7-a] = 0 , [/latex] где под [latex] t [/latex] подразумевается квадрат переменной [latex] x^2 , [/latex] т.е. [latex] t = x^2 , [/latex] а его корнями [latex] t_{1,2} [/latex] – квадраты искомых корней, если они различны, или его чётным корнем [latex] t_o = x^2_{1,2} , [/latex] если корень биквадратного трёхчлена [latex] t_o [/latex] – единственный. Наше уравнение вообще имеет решения только тогда, когда дискриминант биквадратного трёхчлена неотрицателен, при этом, в силу чётности биквадратного уравнения, удобно находить чётный дискриминант через половину среднего коэффициента и без множителей в последнем слагаемом, т.е. по формуле [latex] D_1 = ( \frac{b}{2} )^2 - ac , [/latex] тогда [latex] D_1 = 4^2 - [7-a] = 9 + a . [/latex] Потребуем, чтобы [latex] D_1 \geq 0 , [/latex] откуда следует, что [latex] 9 + a \geq 0 ; \ \ \Rightarrow a \geq -9 . [/latex] Уравнение не может стать просто квадратным, оно всегда будет иметь старшей степенью 4, поскольку старший коэффициент фиксирован и равен единице. Но биквадратное уравнение может выродится, когда его дискриминант равен нолю, что происходит при [latex] a = -9 , [/latex] а корень биквадратного трёхчлена станет чётным [latex] t_o = 4 , [/latex] давая два искомых корня [latex] x_{1,2} = \pm 2 . [/latex] Это значение [latex] a = -9 [/latex] как раз уже и есть одно из искомых решений для параметра [latex] a . [/latex] Когда дискриминант больше нуля и биквадратное уравнение не вырождено, то квадратов искомых корней [latex] x^2 , [/latex] всегда будет два – левый и правый (меньший и больший), однако при некоторых обстоятельствах левый квадрат искомых корней будет отрицательным, а значит, не будет давать пару искомых корней. Среднеарифметическое квадратов искомых корней [latex] x^2 , [/latex] по теореме Виета, в применении к биквадратному уравнению, будет равно числу, противоположному половине среднего коэффициента, т.е. оно равно [latex] -\frac{b}{2} = -\frac{-8}{2} = 4 . [/latex] Отсюда следует, что правый квадрат искомых корней [latex] x^2 , [/latex] – всегда положителен, а значит, всегда даёт два корня при положительном дискриминанте. Левый же квадрат искомых корней отрицателен тогда и только тогда, когда этот левый квадрат лежит левее оси ординат, т.е. левее точки [latex] x = 0 . [/latex] А значит, значение всего трёхчлена [latex] x^4 - 8 x^2 + [7-a] [/latex] взятое от [latex] x = 0 [/latex] должно давать отрицательное значение, т.е. располагается в нижней межкорневой дуге параболы биквадратного трёхчлена. Отсюда: [latex] 0^4 - 8 \cdot 0^2 + [7-a] < 0 [/latex] ; [latex] 7 - a < 0 [/latex] ; [latex] a > 7 [/latex] ; О т в е т : [latex] a \in \{ -9 \} \cup ( 7 ; +\infty ) . [/latex]