Проанализировать функцию на монотонность [latex]f(x)=x^{3} -6 x^{2} +12x+4 [/latex]

ну, берем производную f'(x)=3x^2-12x+12;  далее, смотрим на знак производной, то есть решаем неравенство 3x^2-12x+12>0; - при этих x функция будет монотонно возрастать находим, что у нас только одна точка экстремума (когда производная равна 0) - в x0=6.  при x<6 и x>6 функция монотонно возрастает.