Профильная математика! геометрия задание 14 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно √6, сторона основания 4. а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую С1К и перпендикулярную плоскости...

Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота в правильном треугольнике АВС. То есть АН⊥ВС. СС₁⊥(АВС), значит АН⊥СС₁. АН перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости (ВСС₁), значит АН⊥(ВСС₁). Проведем КТ║АН. Тогда КТ⊥(ВСС₁). Плоскость (С₁КТ) проходит через прямую КТ, перпендикулярную (ВСС₁), значит (С₁КТ)⊥(ВСС₁). С₁КТ - искомое сечение. С₁Т - проекция С₁К на плоскость (ВСС₁), значит ∠КС₁Т - угол между прямой С₁К и плоскостью (ВСС₁). ∠КС₁Т - искомый. Обозначим его α. ΔАВС: АН = АВ√3/2 = 4√3/2 = 2√3 как высота равностороннего треугольника. КТ = АН/2 = √3 как средняя линия ΔАСН. ΔСС₁К: по теореме Пифагора                С₁К = √(СС₁² + КС²) = √(6 + 4) = √10 ΔС₁КТ: КТ - перпендикуляр к плоскости (ВСС₁), прямая С₁Т лежит в этой плоскости, значит КТ⊥С₁Т. Треугольник прямоугольный. sinα = KT/C₁K = √3/√10 cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - 3/10) = √(7/10) = √70/10