Прямая L заданная уравнением у = ах (а больше 0), делит квад­рат ОАВС (О — начало координат, А(0; 4), С(4; 0)) на две фигуры. Задайте следующие функции f в зависимости от значения а: а) f(a) — площадь фигуры, содержащей верши...

Прежде все покажем квадрат, а также прямую заданную функцией [latex]y = ax, a \ \textgreater \ 0[/latex] на одной координатной плоскости (смотрите первый рисунок). Отметим, что площадь фигуры, содержащей точку [latex]A[/latex], — это площадь фигуры под точкой [latex]A[/latex] до нашей прямой. В свою очередь площадь фигуры, содержащей точку [latex]C[/latex], — это площадь фигуры над точкой [latex]C[/latex] и до нашей прямой. Перейдем к решению задачи. ========== а) Необходимо найти зависимость площади фигуры, содержащей точку [latex]A[/latex], от величины [latex]a[/latex]. Прежде всего, покажем, что следует рассмотреть несколько случаев получаемых при отсечении от квадрата прямой фигур: может получиться как треугольник (смотрите рисунок 2), так и трапеция (смотрите рисунок 3). Рассмотрим оба случая отдельно. СЛУЧАЙ 1 (треугольник) Имеем треугольник [latex]\triangle OAD[/latex] (смотрите рисунок 2). Очевидно, что размеры сторон треугольника меняются вместе с величиной [latex]a[/latex], а значит от величины [latex]a[/latex] зависит и площадь треугольника. Как же найти эту площадь? Из рисунка 2 видно, что при любом значении [latex]a \geq 1[/latex] (при [latex]a \ \textless \ 1[/latex] эта фигура уже не треугольник, а трапеция) треугольник остается прямоугольным, поскольку [latex]\angle A = 90^{\circ}[/latex], отсюда следует, что площадь треугольника можно найти как полупроизведение катетов: [latex]s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2}[/latex]. Необходимо выразить эту площадь через величину [latex]a[/latex], то есть узнать, как катеты [latex]OA[/latex] и [latex]AD[/latex] зависят от [latex]a[/latex]. Поразмышляем над этим: При любом значении [latex]a \geq 1[/latex] катет [latex]OA = 4[/latex] (из условия точка [latex]O[/latex] имеет координату [latex]y = 0[/latex], а точка [latex]A[/latex] координату [latex]y = 4[/latex], отсюда [latex]OA = 4[/latex]). [latex]OA [/latex] никак не зависит от величины [latex]a[/latex]. Вы можете в этом убедиться, «покрутив» прямую, заданную функцией [latex]y = ax[/latex], но не забывайте, что [latex]a \ \textgreater \ 0[/latex], а также то, что если мы рассматриваем случай с треугольником, то [latex]a \geq 1[/latex]. Теперь подумаем, как от величины [latex]a[/latex] зависит катет [latex]AD[/latex]. Это не очень просто, но я постараюсь показать эту зависимость. Посмотрите на рисунок 4. Нас интересует сторона квадрата [latex]AB[/latex]. Координата [latex]y [/latex] этой прямой [latex]=4[/latex]. С другой стороны, эту прямую пересекает другая прямая, заданная функцией [latex]y = ax[/latex]. Раз эти прямые пересекаются, значит их координаты [latex]y[/latex] равны. Я пометил где [latex]x[/latex], а где [latex]y[/latex] на рисунке. Так совпало, что координата [latex]x[/latex] и есть искомый нами катет. Прямая задается функцией [latex]y = ax[/latex]. Нас интересует тот самый [latex]x[/latex], что является катетом треугольника. То есть тот [latex]x[/latex], который получается при [latex]y = 4[/latex]. Запишем это: [latex]y = ax \\ 4 = ax \\ x = \frac{4}{a}[/latex] Мы нашли зависимость катета [latex]AD[/latex] от величины [latex]a[/latex]. Напомню формулу площади: [latex]s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2}[/latex] Где [latex]OA = 4[/latex], [latex]AD =\frac{4}{a} [/latex]. Найдем теперь зависимость площади треугольника от [latex]a[/latex]: [latex]s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2} = \frac{4 \cdot \frac{4}{a}}{2} = \frac{8}{a}[/latex] Отлично, зависимость найдена. Но это только при [latex]a \geq 1[/latex]. А что будет в случае, если [latex]0 \ \textless \ a \ \textless \ 1[/latex]? Подумаем. СЛУЧАЙ 2 (трапеция) Как мы уже отметили, при  [latex]0 \ \textless \ a \ \textless \ 1[/latex] точкой [latex]A[/latex] ограничена трапеция [latex]OABE[/latex] (смотрите рисунок 3). Как найти площадь трапеции? Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту. В нашем случае имеем: [latex]s_{OABE} = \frac{OA + BE}{2} \cdot AB[/latex] Сразу отметим какие стороны трапеции зависят от [latex]a, (0\ \textless \ a \ \textless \ 1)[/latex]. Основание [latex]OA[/latex] и высота [latex]AB[/latex] от [latex]a[/latex] не зависят. Зависит только меньшее основание [latex]BE[/latex]. Найдем эту зависимость (она куда проще, чем в случае с треугольником). Смотрите рисунок 5. Как видно из рисунка, [latex]OA = 4[/latex], [latex]AB = 4[/latex]. Подумаем, какова зависимость малого основания трапеции [latex]BE[/latex] от величины [latex]a[/latex]. Видим, что [latex]BC = BE + EC = 4[/latex] Отсюда: [latex]BE = BC - EC = 4 - EC[/latex] Остается найти [latex]EC[/latex]. Тут начинается та же история с пересечением двух прямых. Причем [latex]EC = y[/latex], а на этот раз [latex]x=4[/latex]. Получаем: [latex]y = ax \\ y = 4a \\ y = EC \\ EC = 4a[/latex] Вспоминаем где нам нужно было [latex]EC[/latex]  [latex]BE = 4 - EC = 4 - 4a[/latex]. Теперь же найдем площадь трапеции: [latex]s_{OABE} = \frac{OA + BE}{2} \cdot AB = \frac{4 + 4 - 4a}{2} \cdot 4 = \frac{4(2 - a)}{2} \cdot 4 = 16 - 8a[/latex] ====== Итак, мы решили только первую часть задания. Что же выходит? Площадь фигуры, содержащей вершину [latex]A[/latex], зависит от величины [latex]a[/latex], причем по-разному (два случая). Запишем это в виде системы: [latex]S_{A} = \left \{ {{\frac{8}{a}, (a \geq 1)} \atop {16 - 8a, (0 \ \textless \ a \ \textless \ 1)}} \right. [/latex]