Прямая , проходящая через серидины противоположных сторон прямоугольника , разделяет этот прямоугольник на два. Может ли один из образовавшихся прямоугольников быть подобен данному?

Да, например, прямоугольник со сторонами 1 и [latex] \sqrt{2} [/latex]. Если середины больших сторон соединить, то получатся два прямоугольника, подобные исходному (у них меньшая  сторона равна [latex] \frac{1}{ \sqrt{2} } [/latex], а большая равна 1, т.е. отношение сторон такое же, как и у исходного прямоугольника). Кстати, лист формата А4 приближенно удовлетворяет этому свойству - у него стороны тоже относятся как 1 к [latex] \sqrt{2} [/latex].