Пуля, летящая с некоторой скоростью, попадает в земляной вал и входит в него на глубину 10 см.. На какую глубину войдет пуля той же массы, но летящая со скоростью вдвое большей?

Предположение: Пуля не деформируется. Для начала введем систему отсчета: пусть начало координат лежит в месте вхождения пули в вал, а пуля движется вдоль оси X (в положительном направлении). Координату пули отметим функцией x(t). Начнем наблюдение в момент касания пулей вала. Тогда x(0) = 0. Под начальной скоростью пули понимаем скорость пули относительно начала отсчета в момент времени t=0, то есть [latex]x'(0) = v_0[/latex] . По аналогии с жидкостями, можно рассматривать вискозность земли, тогда сила, действующая на пулю (замедляющая сила) пропорциональна скорости пули с фактором b: [latex]F_{r} = -bv[/latex] Земля проявляет вискозность только при достаточной скорости пули, допустим при [latex]x'(t) > v_{crit}[/latex]. Пренебрегая силой тяжести, а значит и движением пули по вертикали, запишем второй закон Ньютона: [latex]F_{r}(t) = -bx'(t) = mx''(t) \Rightarrow mx''(t) + bx'(t) = 0[/latex] Пусть [latex]x(t) = Ce^{rt}[/latex]. Тогда дифференциальное уравнение имеет вид [latex]mr^2 + br = 0[/latex] [latex]r_1 = 0[/latex] [latex]mr_2+b = 0 \Rightarrow r_2 = \frac{-b}{m}[/latex] Решением является линейная комбинация функций: То есть [latex]x(t) = C_1e^{0t} + C_2e^{-bt/m} = C_1 + C_2e^{-bt/m}[/latex] Тогда [latex]v(t) = x'(t) = C_2\frac{-b}{m}e^{-bt/m}[/latex] Так как [latex]v(0)=v_0[/latex], [latex]C_2\frac{-b}{m}=v_0 \Rightarrow C_2=\frac{-mv_0}{b}[/latex]. [latex]x(0) = 0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 0 \Rightarrow C_1 = \frac{mv_0}{b}[/latex] [latex]v(t) = v_0e^{-bt/m}[/latex] Тогда [latex]x(t) = \frac{mv_0}{b}(1 - e^{-bt/m})[/latex] Соответственно, в любой момент времени координата пули прямо пропорциональна начальной скорости, то есть удвоение начальной скорости приведет к удвоению пройденного расстояния. Найдем это расстояние: Пусть момент, когда движение пули перестанет следовать законом жидкостей, означает для нас остановку пули. Тогда пуля движется до тех пор, пока [latex]v(t) > v_{crit}[/latex], то есть [latex]v(t_{crit}) = v_0e^{-bt_{crit}/m} = v_{crit} \Rightarrow -bt_{crit}/m = \ln(\frac{v_crit}{v_0})[/latex] Тогда [latex]t_{crit} = \frac{m}{b}\ln(\frac{v_{0}}{v_{crit}})[/latex] Соответственно [latex]x(t_{crit}) = \frac{mv_0}{b}(1 - e^{-bt_{crit}/m})=\frac{mv_0}{b}(1 - e^{-\ln(\frac{v_{0}}{v_{crit}})}[/latex] [latex]x(t_{crit}) = \frac{mv_0}{b}(1 - \frac{v_{crit}}{v_{0}}) = \frac{m}{b}(v_0-v_{crit})[/latex] При удвоении начальной скорости, конечная координата равна: [latex]x_{new}(t_{crit}) = \frac{m}{b}(2v_0-v_{crit})[/latex] Тогда отношение нового пути к старому равно [latex]\frac{2v_0-v_{crit}}{v_0-v_{crit}}[/latex], При, допустим, [latex]v_{crit} \triangleq 0.1v_{0}[/latex], это отношение равно [latex]\frac{1.9}{0.9} = 2.(1)[/latex].

пуля, у которой скорость в 2 раза больше имеет кинетическую энергию в 4 раза больше. кинетическая энергия тратится на преодоление сил трения. если предположить что величина силы трения неизмена, то ... E = m*v^2/2=F*S E1 = m*(2*v)^2/2=F*S1 4*F*S = F*S1 S1 = S*4 = 10 см*4 = 40 см