Пусть a+b+c=1 и a, b, c больше 0. Найдите минимум a²+2b²+c².

   [latex]a+b+c=1\\ [/latex] , из известных неравенств ,   [latex] a^2+b^2 \geq 2ab\\ b^2+c^2 \geq 2bc\\ [/latex] суммируем   [latex]a^2+2b^2+c^2 \geq 2ab+2bc[/latex]  можно сделать вывод что при [latex]a=c[/latex]   [latex] a^2+2b^2+c^2[/latex] и достигает наименьшего значения   [latex]a^2+2b^2+c^2 \geq 4ab\\ 2a^2+2b^2 \geq 4ab\\ 2a+b=1\\ \\ a^2+2b^2+c^2 \geq 2a^2+2(1-2a)^2[/latex]   Рассмотрим функцию    [latex]f(a)=2a^2+2(1-2a)^2\\ f(a)=10a^2-8a+2\\ 10>0\\ [/latex]  это график параболы ,  и ее ветви направлены вверх  относительно оси [latex]OY[/latex]    По известной формуле [latex]f_{min} = \frac{8}{2*10} = \frac{2}{5}[/latex]   Ответ  наименьшее значение функций равно [latex] f_{min}=\frac{2}{5}[/latex],ооно достигается при [latex] a=c=\frac{2}{5}\\ b=\frac{1}{5}[/latex]