Пусть альфа и бета решение уравнения x^2-x+4=0 Тогда бета/альфа+альфа/бета=?

По теореме Виета: [latex]\displaystyle \alpha + \beta=-b;[/latex] [latex]\displaystyle \alpha\beta=c.[/latex] Разделим первую строчку на вторую: [latex]\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}=-\frac{b}{c};[/latex] [latex]\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha\beta}+\frac{\beta}{\alpha\beta}=-\frac{b}{c};[/latex] [latex]\displaystyle \frac{1}{\beta}+\frac{1}{\alpha}=-\frac{b}{c};[/latex] Последнее равенство умножим на [latex]\displaystyle \beta[/latex] и отнимем единицу: [latex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}=-\frac{b}{c}\beta-1;[/latex] Отдельно то же самое равенство умножим на [latex]\displaystyle \alpha[/latex] и отнимем единицу: [latex]\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\alpha-1;[/latex] Сложим последние два равенства: [latex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\beta-1-\frac{b}{c}\alpha-1;[/latex] В правой части вынесем [latex]\displaystyle -\frac{b}{c}[/latex] за скобки: [latex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\left(\alpha+\beta\right)-2;[/latex] А по уже приведённой теореме Виета, [latex]\displaystyle \alpha+\beta=-b[/latex]: [latex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\left(-b\right)-2;[/latex] [latex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\boxed{\frac{b^2}{c}-2}\phantom{.}.[/latex] Обратим внимание, что приведённое равенство справедливо для любого квадратного уравнения вида [latex]\displaystyle ax^2+bx+c=0[/latex], где [latex]\displaystyle \alpha[/latex] и [latex]\displaystyle \beta[/latex] — его корни. Наконец, подставим в полученное равенство значения [latex]\displaystyle a[/latex], [latex]\displaystyle b[/latex] и [latex]\displaystyle c[/latex] из данного уравнения: [latex]\displaystyle a=1;[/latex] [latex]\displaystyle b=-1;[/latex] [latex]\displaystyle c=4;[/latex] [latex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{b^2}{c}-2=\frac{\left(-1\right)^2}{4}-2=\frac{1}{4}-\frac{8}{4}=\boxed{-\frac{7}{4}}\phantom{.}.[/latex] Обратите внимание, однако, что для нахождения величины [latex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}[/latex] решать исходное уравнение (находить численные значения [latex]\displaystyle \alpha[/latex] и [latex]\displaystyle \beta[/latex]) не пришлось вовсе, что весьма интересно.