Пусть an – остаток от деления (n+1)3 на n3. Найдите остаток при делении числа a1+a2+…+a3003 на 3000.

[latex]\frac{(n+1)^3}{n^3}=a_{n}[/latex]   заметим что [latex]\frac{(n+1)^3}{n^3}=\frac{1}{n^3}+\frac{3}{n^2}+\frac{3}{n}+1[/latex]  так как нам нужен остаток, то [latex]\frac{1}{n^3}+\frac{3}{n^2}+\frac{3}{n}[/latex] , он  равен      [latex] \frac{3n^2+3n+1}{n^3}[/latex] , решим неравенство   [latex]3n^2+3n+1[/latex] оно верно при [latex]n \in [3;+\infty)[/latex]  это говорит о том что , можно найти остатки  при [latex]n=1;2;3[/latex] , а при остальных других только найти сумму  [latex]a_{1}=0\\ a_{2}=3\\ a_{3}=10[/latex]   [latex] 3n^2+3n+1[/latex]  это реккурентная сумма остатков при [latex]n \in [4;3003][/latex]   [latex]3*(4^2+5^2+.....3003^2)+3(4+5+6+...3003)+3003\\ [/latex]    как известно формула [latex]1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/latex]  то есть [latex] 3(4^2+5^2+...+3003^2) =3( \frac{3003*3004*6007}{6}-14 )\\ 3(4+5+6+...+3003)=3*3007*1500\\ 3*(\frac{3003*3004*6007}{6}-14)+3*3007*1500+3003[/latex]  то есть [latex]3003*3004*3005+3003 +13[/latex] его остаток равен [latex]76[/latex]