Пусть для любых значений аргумента, отличных от нуля, функция y = f(x) удовлетворяет условию [latex]f(x) + 2f ( \frac{4}{x} ) = x - \frac{5}{x}[/latex]. Найти: 1) f(1); 2) f(x).

Это задача легко сводится к решению системы линейных уравнений. Для начала замена: [latex]f(x)=A \\ f( \frac{4}{x} )=B[/latex] Тогда [latex]A+2B=x- \frac{5}{x} [/latex]. Это будет первым уравнением системы. Неизвестные тут А и В, а х играет роль параметра. Теперь вспомним, что равенство по условию выполняется для любого аргумента и заменим в этом равенстве x на [latex] \frac{4}{x} [/latex]. [latex]f( \frac{4}{x} )+2f(x)=\frac{4}{x}- \frac{5x}{4} [/latex] Вот и всплыло второе уравнение. Итак, имеем систему: [latex] \left \{ {{A+2B=x- \frac{5}{x} } \atop {B+2A= \frac{4}{x} - \frac{5x}{4} }} \right. [/latex] Эта система без проблем решается способом сложения. Получаем [latex]A=f(x)= \frac{13}{3x} - \frac{7x}{6} [/latex], ну а B нам и не нужно. Проверка для самоконтроля: [latex]\frac{13}{3x} - \frac{7x}{6}+2(\frac{13}{\frac{3*4}{x} } - \frac{7* \frac{4}{x} }{6})=\frac{13}{3x} - \frac{7x}{6}+ \frac{13x}{6} - \frac{28}{3x} =x- \frac{5}{x} [/latex] Все верно, мы получили то что в условии.  Значит [latex]f(x)= \frac{13}{3x} - \frac{7x}{6} [/latex], ну а [latex]f(1)= \frac{19}{6} [/latex]