Пусть p простое число, большее 5. Докажите, что p − 4 не может быть четвертой степе- нью целого числа.

Пусть [latex]p=a^4+4[/latex] для некоторого натурального [latex]a[/latex]. Тогда [latex]p=(a^4+4a^2+4)-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2-2a+2)(a^2+2a+2)[/latex]. Если [latex]p>5[/latex], то [latex]a>1[/latex]. При таких [latex]a[/latex] каждая скобка в произведении - натуральное число, большее единицы, чего быть не может, так как [latex]p[/latex] - простое число.