Пусть S(n) обозначает сумму всех цифр натурального числа n. найти все решения уравнения n+S(n)=2010

 [latex]n+S(n)=2010\\ n+S(n)=2*3*5*67\\ [/latex]  Заметим что если  справа число делиться на 3 , то и слева тоже .   Воспользуемся известным свойством , делимости на 3 , число делиться на 3 , тогда и только  тогда когда сумма его цифр делиться на 3.      Положим пусть [latex]n=19xy[/latex]  , где [latex]x;y[/latex]  натуральные числа , тогда    [latex]19xy+S(19xy)=2010\\ [/latex]   откуда [latex]10+x+y[/latex] должно делиться на 3 .   [latex]10+x+y=3N[/latex]   очевидно что какие не были  [latex]x,y[/latex] , число все равно будет двузначным , исходя из оценки этих чисел .   Пусть [latex]10+x+y=10a+b\\ 10+x+y+a+b=3k\\ 3k-(a+b)=10a+b\\ 11a+2b=3k\\ a=2\\ b=4\\ N=24\\ [/latex]   откуда число равно [latex]x=8\\ y=6\\ n=1986[/latex]    Далее можно проверить по остаткам , и убедится что это единственное решение