Рассмотрим числа 1, 11, 111, 1111, 11111, ……, 11…1201211…1⏟2012. Сколько из них делится на 11?

Если в числе четное число цифр NN, то сумма цифр, стоящих на четных позициях, равна сумме цифр, стоящих на нечетных позициях, и равна N2N2. Поэтому эти суммы равны между собой. Из признака делимости на 11 следует, что и сами числа делятся на 11. Если в числе нечетное число цифр, то суммы отличаются на единицу, и поэтому не могут давать одинаковые остатки при делении на 11.Итак, подходят только числа вида 11,1111,…,11…1201211,1111,…,11…1⏟2012, а их ровно 20122=100620122=1006.