Рассмотрим на координатной плоскости точки A(-2; 5) и B(4; -3). Найдите координаты точки M, если AM^2 + BM^2 = 50.

 Пусть М(х,у).  АМ² =(х+2)²+(у-5)² ВМ²= (х-4)²+(у+3)². Получим уравнение (х+2)²+(у-5)²+(х-4)²+(у+3)²=50. После упрощения получим 2х²-4х+2у²-4у = -4. х²-2х+у²-2у = -2. Выделим квадраты в левой части  х²-2х+1-1+у²-2у+1-1 = -2 (х-1)²+(у-1)² = 0. Это уравнение имеет единственное решение (1;1),т.к. сумма неотрицательных квадратов может быть равна 0, если каждое слагаемое равно 0.