Равносильные преобразования неравенств [latex] \sqrt[3]{x^3-3x^2+2x+8} меньше 1+x[/latex]

Возведем в куб х³-3х²+2х+8<1+3x+3x²+x³ х³-3х²+2х+8-1-3x-3x²-x³<0 -6x²-x+7<0 6x²+x-7>0 D=1+168=169 √D=13 x1=(-1-13)/12=-14/12=-7/6 x2=(-1+13)/12=12/12=1          +              _            + -----------------------------------------------------                -7/6           1 x∈(-≈;-7/6)U(1;≈)

Возведем обе части неравенства в куб: [latex] x^{3}-3 x^{2}+2x+8<1+3x+3 x^{2} + x^{3} [/latex] Перенесем все в левую част неравенства и приведем подобные: [latex]x^{3}-3 x^{2}+2x+8-1-3x-3 x^{2}-x^{3}<0[/latex] [latex]-6x^{2}-x+7<0[/latex] Разделим обе части неравенства на (-1), при этом знак неравенства изменим на противоположный: [latex]6x^{2}+x-7>0[/latex] Разложим многочлен [latex]6x^{2}+x-7[/latex] на множители: [latex]6x^{2}+x-7=6x^{2}+7x-6x-7=6x(x-1)+7(x-1)=[/latex][latex](x-1)(6x+7)= 6(x-1)(x+1 \frac{1}{6})[/latex] [latex]6(x-1)(x+1 \frac{1}{6})>0[/latex] Разделим обе части неравенства на 6: [latex](x-1)(x+1 \frac{1}{6})>0[/latex] Решим методом интервалов, получим, что неравенство верно при х € (- бесконечность; [latex] -1 \frac{1}{6}[/latex])U(1; +бесконечность)