Разность между пятым и первым членом геометрической прогрессии равна 15, а разность между четвёртым и вторым членами равна 3. Найти эту прогрессию.

Запишем условие задачи в виде системы уравнений: {a₁q⁴ - a₁ = 15 {a₁q³ - a₁q = 3. Вынесем за скобки общий множитель: {a₁(q⁴ - 1) = 15          {a₁(q² - 1)(q² + 1) = 15      {a₁q(q² - 1) = 3          {a₁q(q² - 1) = 3. Разделим левые и правые части равенств первое на второе: (q² + 1) / q = 5. Получаем квадратное уравнение: q² - 5q + 1 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно q:  Ищем дискриминант:D=(-5)^2-4*1*1=25-4=21; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: q₁=(√21-(-5))/(2*1)=(√21+5)/2=√21/2+5/2=√21/2+2.5 ≈ 4.791288; q₂=(-√21-(-5))/(2*1)=(-√21+5)/2=-√21/2+5/2=-√21/2+2.5 ≈ 0.208712. a₁(₁) = 15 / (q₁⁴ - 1) =  0.028517. a₁(₂) = 15 / ( (q₂⁴ - 1) =  -15.028517. Получаем 2 прогрессии: [latex]a_n=0.028517*4.791288^{n-1}[/latex]. [latex]a_n=-15.028517*0.208712^{n-1}.[/latex]