Ребро куба равно а. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю основания куба, которая с ней скрещивающимися.

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми,  диагональю куба и диагональю основания куба, это расстояние между одной из двух прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой. Построим плоскость, проходящую через прямую BD параллельно прямой АС1. Возьмем точку К - середину отрезка СС1,  АС1 параллельна ОК ( т к ОК средняя линия в треугольнике АСС1). По признаку параллельности прямой и плоскости АС1 параллельна плоскости BDK. Найдем расстояние между ними, оно рано расстоянию между параллельными прямыми АС1 и ОК.  Опустим перпендикуляр ОН на АС1 и найдем его длину с помощью треугольника АОС1. [latex]AC=a \sqrt{2};AO= \frac{1}{2}AC= \frac{1}{2}a \sqrt{2};AC1=a \sqrt{3}; [/latex] [latex]OC _{1}= \sqrt{OC ^{2} +CC _{1} ^{2} }= \sqrt{ \frac{1}{2}a ^{2}+ a^{2} }=a \sqrt{ \frac{3}{2} } ;[/latex] Пусть [latex]AH=x; HC _{1}=AC _{1}-x; [/latex] Выразим ОН из двух треугольников. [latex]OH ^{2}=AO ^{2}-AH^{2}=OC _{1}^{2}-HC_{1} ^{2}; [/latex] [latex] \frac{1}{2}a ^{2}- x^{2} = \frac{3}{2}a^{2}-(a \sqrt{3}-x )^{2}; [/latex] [latex] a^{2}+ x^{2}-3 a^{2}+2ax \sqrt{3} - x^{2} =0; [/latex] [latex]2ax \sqrt{3}=2 a^{2};x= \frac{a}{ \sqrt{3} }; [/latex] [latex]OH= \sqrt{ \frac{1}{2} a^{2} - \frac{ a^{2} }{3} }= \sqrt{ \frac{ a^{2} }{6} } = \frac{a}{ \sqrt{6} } [/latex] Ответ [latex] \frac{a}{ \sqrt{6} } [/latex]