Решить дифференциальное уравнение xy'-y=x^2cosx

[latex]xy'-y=x^2\cos x\\ \\ x \frac{dy}{dx} -y-x^2\cos x=0\\ \\ xdy+(-y-x^2\cos x)dx=0[/latex] [latex]\displaystyle \frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} =1\\ \\ \\ \frac{\partial N}{\partial y}= \frac{\partial(-y-x^2\cos x)}{\partial y} =-1 [/latex] Поскольку [latex]\displaystyle \frac{\partial M}{\partial x}\ne \frac{\partial N}{\partial y} [/latex], то дифференциальное уравнение не является в полных дифференциалах  Найдем для него интегрирующий множитель [latex]\displaystyle \phi(x)= \frac{ \frac{\partial N}{\partial y}- \frac{\partial M}{\partial x} }{M} = \frac{-1-1}{x} \\ \\ \\ \nu(x)=e^\big{\int- \frac{2}{x}dx }= \frac{1}{x^2} [/latex] Умножим обе части уравнения на [latex] \dfrac{1}{x^2} [/latex], получаем [latex]\displaystyle \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{x} - \frac{y}{x^2} =\cos x\\ \\ \\ \frac{dy}{dx}\cdot \frac{1}{x} +y\cdot \frac{d( \frac{1}{x}) }{dx} =\cos x\\ \\ \\ \frac{d}{dx}\bigg( \frac{y}{x}\bigg)=\cos x [/latex] Интегрируя обе части уравнения, получаем: [latex]\displaystyle \frac{y}{x} =\int\limits {\cos x} \, dx \\ \\ \\ \frac{y}{x} =\sin x+C\\ \\ \\ \boxed{y=x(\sin x+C)}[/latex]