Решить дифференциальные уравнения с разделяющими переменными и задачу Коши [latex](xy^{2} - y^{2}) dx - (x^{2}y + x^{2})dy=0 [/latex]

Разделим все на dx получим [latex]-\frac{dy}{dx}(x^2y+x^2)=-(xy^2-y^2) [/latex] Сделаем так чтобы в левой части осталось только dy/dx Получим [latex]\frac{dy}{dx}=\frac{xy^2-y^2}{x^2y+x^2}=\frac{y^2}{y+1}\frac{x-1}{x^2}[/latex]  Теперь умножим все на [latex]\frac{y+1}{y^2}[/latex] получаем: [latex]\frac{y+1}{y^2}dy=\frac{x-1}{x^2}dx[/latex] Возьмем интеграл от левой и правой части  [latex]\int{\frac{y+1}{y^2}}dy=\int{\frac{x-1}{x^2}}dx[/latex] Находим значения интегралов получаем: [latex]ln(y)-\frac{1}{y}+C=ln(x)+\frac{1}{x}+C^1[/latex] Можно объеденить С и С1 в одну константу, назовем ее С. Этого я думаю достаточно. Чтобы решить задачу Коши нужны начальные условия, к сожалению здесь они не предоставлены. Поэтому попытаемся решить задачу Коши для произвольных начальных условий   y(a)=b , где a,b-константы найдем сразу ln(y(a))=ln(b) и подставим все в уравнение получим[latex]ln(b)-\frac{1}{b}=ln(a)+\frac{1}{a}+C[/latex]  Отсюда [latex]C=ln(b)-\frac{1}{b}-ln(a)-\frac{1}{a}[/latex] Т.е решеним задачи Коши для произвольных a и b, которые конечно должны принадлежать области определения функций указанных в общем решении уравнения (очевидно, что а и b не равны 0, т.к деление на ноль недопустимо и в общем то говоря а и b>0, если мы конечно не рассматриваем случая когда логарифмическая функция продолжается на комплексное пространство) будет:[latex]ln(y)-\frac{1}{y}=ln(x)+\frac{1}{x}+(ln(b)-\frac{1}{b}-ln(a)-\frac{1}{a})[/latex]