Решить тригонометрическое уравнение tg^3 x+ctg^3 x+tg^2 x+ctg^2 x =0

[latex]tg^3 x+ctg^3 x+tg^2 x+ctg^2 x =0[/latex] [latex]tg^3 x+ \frac{1}{tg^3x} +tg^2 x+ \frac{1}{tg^2x} =0[/latex] Замена: [latex]tg^2x=t \neq 0[/latex] [latex]t^3+ \frac{1}{t^3} +t^2+ \frac{1}{t^2} =0,t \neq 0[/latex] [latex] \frac{t^6+t^5+t+1}{t^3} =0,t \neq 0[/latex] [latex]t^6+t^5+t+1=0,t \neq 0[/latex] Если целые корни есть, то это либо 1 либо -1 (теорема Безу и все что с ней связано) [latex] \frac{t^6+t^5+t+1}{t-1} =t^5+1[/latex] [latex] \frac{t^5+1}{t+1} =t^4-t^3+t^2-t+1[/latex] Смотреть деление в столбик [latex](t+1)^2(t^4-t^3+t^2-t+1)=0,t \neq 0[/latex] Рассмотрим отдельно уравнение [latex]t^4-t^3+t^2-t+1=0[/latex] Оно возвратное! делим его на [latex]t^2[/latex], t=0 - не его корень [latex]t^2+ \frac{1}{t^2}-(t+ \frac{1}{t} )+1=0[/latex] [latex]t^2+2*t* \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^2}-2-(t+ \frac{1}{t} )+1=0[/latex] [latex](t+ \frac{1}{t})^2-(t+ \frac{1}{t} )-1=0[/latex] Откуда [latex]t+ \frac{1}{t}= \frac{1\pm \sqrt{5} }{2} [/latex] откуда выходит два квадратных уравнение, и каждое из них не имеет действительных корней tg(x)=-1, и sin(x) != 0, и cos(x) != 0 x = -Pi/4 + Pi*n, где n - множество действительных чисел (запрет для синуса и косинуса быть нулем не влияет на это множество) Ответ: -Pi/4 + Pi*n, где n - множество действительных чисел