Решить уравнение [latex] \sqrt[3]{5x-7}+ \sqrt[3]{x-3}= \sqrt[3]{3x-1} [/latex]

[latex] \sqrt[3]{5x-7} + \sqrt[3]{x-3} = \sqrt[3]{3x-1} [/latex] [latex] \sqrt[3]{5x-7} = \sqrt[3]{3x-1} - \sqrt[3]{x-3} [/latex] [latex]( \sqrt[3]{5x-7})^3 = (\sqrt[3]{3x-1} - \sqrt[3]{x-3})^3[/latex] [latex](a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/latex] [latex]5x-7=[/latex] [latex]=\sqrt[3]{3x-1}^3- 3\sqrt[3]{(3x-1)^2(x-3)} +3\sqrt[3]{(3x-1)(x-3)^2}-\sqrt[3]{x-3}^3 [/latex] [latex]5x-7=3x-1-(x-3)-3 \sqrt[3]{(3x-1)(x-3)} ( \sqrt[3]{3x-1} - \sqrt[3]{x-3} )[/latex] [latex] \sqrt[3]{3x-1} - \sqrt[3]{x-3} = \sqrt[3]{5x-7} [/latex] [latex]3(x-3)=-3 \sqrt[3]{(3x-1)(x-3)} * \sqrt[3]{5x-7} [/latex] [latex]x-3=- \sqrt[3]{(3x-1)(x-3)(5x-7)} [/latex] [latex](x-3)^3=(- \sqrt[3]{(3x-1)(x-3)(5x-7} ))^3[/latex] [latex](x-3)^3-(3x-1)(x-3)(5x-7)=0[/latex] [latex](x-3)((x-3)^2+(3x-1)(5x-7))=0[/latex] [latex]x-3=0[/latex] [latex]x=3[/latex] [latex](x-3)^2+(3x-1)(5x-7)=x^2-6x+9+15x^2-21x-5x+7=0[/latex] [latex]16x^2-32x+16=0[/latex] [latex]16(x^2-2+1)=0[/latex] [latex]16(x-1)^2=0[/latex] [latex](x-1)^2=0[/latex] [latex]x=1[/latex] [latex] \sqrt[3]{15-7} + \sqrt[3]{0} = \sqrt[3]{9-1} [/latex] [latex] \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{8} [/latex] [latex] \sqrt[3]{-2} + \sqrt[3]{-2} \neq \sqrt[3]{2} [/latex] Ответ: [latex]x=3[/latex]

[latex] \sqrt[3]{5x-7}+ \sqrt[3]{x-3}= \sqrt[3]{3x-1} [/latex] Возведём обе части уравнения в куб. [latex]( \sqrt[3]{5x-7}+ \sqrt[3]{x-3})^3=( \sqrt[3]{3x-1} )^3[/latex] [latex]( \sqrt[3]{5x-7})^3+(\sqrt[3]{x-3})^3+3\sqrt[3]{(5x-7)(x-3)}*( \sqrt[3]{5x-7}+ \sqrt[3]{x-3}) =[/latex][latex]=(\sqrt[3]{3x-1})^3[/latex] [latex]5x-7+x-3+3\sqrt[3]{(5x-7)(x-3)}*\sqrt[3]{3x-1}={3x-1}[/latex] [latex]3\sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}={3x-1-6x+10}[/latex] [latex]3\sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}=9-3x[/latex] [latex]\sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}=3-x[/latex] [latex](\sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})})^3=(3-x)^3[/latex] [latex]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}=-(x-3)^3[/latex] [latex]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}+(x-3)^3=0[/latex] [latex](x-3)[(5x-7)(3x-1)+(x-3)^2]=0[/latex] [latex](x-3)(15x^2-5x-21x+7+x^2-6x+9)=0[/latex] [latex](x-3)(16x^2-32x+16)=0[/latex] [latex]16(x-3)(x^2-2x+1)=0[/latex] [latex]16(x-3)(x-1)^2=0[/latex] [latex](x-3)(x-1)^2=0[/latex] [latex]x-3=0[/latex]       или       [latex](x-1)^2=0[/latex] [latex]x=3[/latex]              или       [latex]x-1=0[/latex]                          или        [latex]x=1[/latex] Проверка корней: [latex] \sqrt[3]{5*3-7}+ \sqrt[3]{3-3}= \sqrt[3]{3*3-1} [/latex] [latex] \sqrt[3]{8}+ 0= \sqrt[3]{8} [/latex]  - верно [latex] \sqrt[3]{5*1-7}+ \sqrt[3]{1-3}= \sqrt[3]{3*1-1} [/latex] [latex] \sqrt[3]{-2}+ \sqrt[3]{-2}= \sqrt[3]{2} [/latex] - неверно Ответ:  [latex]3[/latex] P.S. [latex](a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/latex]