Решить уравнение tg3x•tg9x=1

[latex]\frac{sin3x}{cos3x}\cdot \frac{sin9x}{cos9x}=1 \\ \\ \frac{sin3x}{cos3x}\cdot \frac{sin9x}{cos9x}-1=0 \\ \\ \frac{sin3x\cdot sin9x-cos3x\cdot cos9x}{cos3x\cdot cos9x}=0 \\ \\ \frac{-cos(3x+9x)}{cos3x\cdot cos9x}=0 \\ \\ \left \{ {{cos12x=0} \atop {cos3x\cdot cos9x \neq 0}} \right. [/latex] cos12x=0; 12x=(π/2)+πk, k∈Z; x=(π/24)+(π/12)·k, k∈Z. На единичной окружности на отрезке [0; 2π] это точки π/24;(π/24)+(π/12)=3π/24; (3π/24)+(π/12)=5π/24; (5π/24)+(π/12)=7π/24; и т.д. до точки 47π/24 cos3x≠0; 3x≠(π/2)+πn, n∈Z; x≠(π/6)+(π/3)·n, n∈Z. Надо проверить не находится ли  хотя бы одна из точек среди корней уравнения. На единичной окружности отрезка [0;2π] это точки π/6;(π/6)+(π/3)=π/2; (π/2)+(π/3)=5π/6; (5π/6)+(π/3)=7π/6; (7π/6)+(π/3)=9π/6=(3π/2); (3π/2)+(π/3)=10π/6. Как видим ни с одной из точек, являющихся корнями уравнения эти точки не пересекаются. Для этого запишем их со знаменателем 24: π/6=4π/24;π/2=12π/24; 5π/6=20π/24; 7π/6=28π/24; 3π/2=36π/24; 10π/6=40π/24. Как видим ни с одной из точек, являющихся корнями уравнения эти точки не пересекаются. cos9x≠0; 9x≠(π/2)+πm, m∈Z; x≠(π/18)+(π/9)·n, n∈Z. Проверяем, не находится ли  хотя бы одна из точек среди корней уравнения На единичной окружности отрезка [0;2π] это точки π/18;(π/18)+(π/9)= 3π/18=π/6; (3π/18)+(π/9)=5π/18; 7π/18; 9π/18; 11π/18;13π/18;15π/18; 17π/18;19π/18;21π/18;23π/18;25π/18;27π/18;29π/18;31π/18; 33π/18;35π/18. Для этого запишем их со знаменателем 24 (умножаем и числитель и знаменатель на 4/3): (4π/3)/24;4π/24; (20π/3)/24; (28π/3)/24; 12π/24; (44π/3)/24;14π/24;20π/24; (68π/3)/24;16π/18;28π/24;(92π/3)/24;(100π/3)/24;36π/24;(116π/3)/24;(124π/3)/24;44π/24;(140π/4)/24. Ни с одной из точек, являющихся корнями уравнения эти точки не пересекаются. О т в е т.(π/24)+(π/12)·k, k∈Z.