Решите интегралл:[latex] \int\limits^{ \frac{pi^2}{4} }_0 {sin \sqrt{x} } \, dx [/latex]

√x=t dt=1/2(√x)  *dx dx=dt*2*√x 2*int( t*sint*dt)=-2*int(t*(cos'(t)))=-2(t*cost -int(cost*dt))= -2(t*cost -sint)=-2*(√x*cos√x-sin√x) Ну осталось  считать по  ньютону лейбницу: F(pi^2/4)-F(0)=2

Замена переменной √x=t, тогда х=t² dx=2tdt Меняем пределы интегрирования: если х₁=0, то t₁=√x₁=0 если х₂=(π)²/4, то t₂=√x₂=π/2 [latex]= \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _0 {sint\cdot 2tdt} \=[u=t\Rightarrow du=dt,dv=sintddt\Rightarrow v=-cost]= \\ =2(-tcost)|^{ \frac{ \pi }{2}}_0 +2 \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _0 {costdt} \ =2(-tcost)|^{ \frac{ \pi }{2}}_0+2(sint)|^{ \frac{ \pi }{2}}_0 = \\ =- 2\frac{ \pi }{2} cos \frac{ \pi }{2}+0+2sin\frac{ \pi }{2}-2sin0= \\ =-2\frac{ \pi }{2}\cdot0+ 2= 2 [/latex]