Решите неравенство: [latex] log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (2x^2-3x) \geq log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (17x-20-3x^2)[/latex]
Решите неравенство:
[latex] log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (2x^2-3x) \geq log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (17x-20-3x^2)[/latex]
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость1) Область определения.
{ (3x-4)/(x+1) > 0
{ (3x-4)/(x+1) ≠ 1
{ 2x^2 - 3x = x(2x - 3) > 0
{ -3x^2 + 17x - 20 > 0; 3x^2 - 17x + 20 = (x - 4)(3x - 5) < 0
Решаем
{ x ∈ (-oo; -1) U (4/3; +oo)
{ 3x - 4 ≠ x + 1; 2x ≠ 5; x ≠ 5/2
{ x ∈ (-oo; 0) U (3/2; +oo)
{ x ∈ (5/3; 4)
5/3 > 4/3;
5/3 = 10/6; 3/2 = 9/6
5/3 > 3/2
5/2 > 5/3
В итоге область определения:
x ∈ (5/3; 5/2) U (5/2; 4)
2) Решаем само неравенство. Оно зависит от основания логарифмов.
2а) Основание меньше 1. Логарифм убывает, поэтому при переходе от логарифмов к числам под логарифмом знак неравенства меняется.
{ (3x - 4)/(x + 1) < 1
{ 2x^2 - 3x ≤ -3x^2 + 17x - 20
Приводим подобные, учитывая область определения.
{ x ∈ (5/3; 5/2) U (5/2; 4)
{ 3x - 4 < x + 1
{ 5x^2 -20x + 20 ≤ 0
Получается
{ x ∈ (5/3; 5/2) U (5/2; 4)
{ 2x < 5; x < 5/2
5(x^2 - 4x + 4) = 5(x - 2)^2 ≤ 0
Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому последнее неравенство - на самом деле уравнение, имеющее 1 корень x = 2.
Этот корень входит в промежуток (5/3; 5/2), поэтому он подходит.
2б) Основание больше 1. Логарифм возрастает, поэтому при переходе к числам под логарифмом знак неравенства сохраняется.
{ (3x - 4)/(x + 1) > 1
{ 2x^2 - 3x ≥ -3x^2 + 17x - 20
Приводим подобные, учитывая область определения.
{ x ∈ (5/3; 5/2) U (5/2; 4)
{ 3x - 4 > x + 1
{ 5x^2 -20x + 20 ≥ 0
Получается
{ x ∈ (5/3; 5/2) U (5/2; 4)
{ 2x > 5; x > 5/2
{ 5(x - 2)^2 ≥ 0
При любом x > 2 квадрат будет положительным.
Решение: (5/2; 4)
Ответ: x ∈ [2] U (5/2; 4)
Не нашли ответ?
Похожие вопросы