РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ [latex] \frac{cos2x+sinx}{ \sqrt{sin(x- \frac{\pi}{4} } } =0 \\ \\ [/latex] НАЙДИТЕ СУММУ КОРНЕЙ В ОТРЕЗКЕ [0;2\pi)

ОДЗ: [latex]sin(x- \pi/4)>0 \\ 2*\pi n< x - \pi /4 < \pi + 2*\pi n \\ \pi/4 + 2*\pi n < x < 5*\pi /4+ 2*\pi n[/latex] Найдем при каких икс числитель равен нулю: cos2x+sinx=0 [latex] 1-2*sin^2(x)+sin(x)=0 \\ t=sin(x) \\ 2t^2-t-1=0 \\ D=1+8=9=3^2 \\ t_1=(1+3)/4=1 \\ t_2=(1-3)/4=-1/2.[/latex] Обратная замена дает, что: [latex]sinx=1 <=> x=\pi /2 + 2*\pi k [/latex] sinx=-1/2, с учетом ОДЗ: [latex] x=7 \pi /6 +2*\pi m[/latex] Отбирая корни, попадающие на отрезок от нуля до пи, получаем пи пополам и семь пи на шесть, которые в сумме дадут: [latex] \pi /2 + 7 \pi /6 = 10 \pi /6= 5 \pi /3[/latex]