Решите уравнение: [latex]25^{ log_5^{2}x } - 3 x^{log_5x} = 10[/latex]

[latex]25^{ \log_5^2x } - 3 x^{\log_5x} = 10[/latex] ОДЗ: х>0 Преобразуем уменьшаемое: [latex]25^{ \log_5^2x }=(5^2)^{ \log_5^2x }=(5^2)^{ \log_5x\log_5x }= 5^{ 2\log_5x\log_5x }= \\\ =(5^{\log_5x})^{ 2\log_5x }=x^{ 2\log_5x }=(x^{ \log_5x })^2[/latex] Выполним замену: [latex]x^{ \log_5x }=y>0[/latex] Получаем уравнение: [latex]y^2-3y=10 \\\ y^2-3y-10=0 \\\ (y-5)(y+2)=0 \\\ y_1=5 \\\ y_2=-2[/latex] Второй корень не подходит, так как обозначенное за у выражение может быть только положительным. Возвращаемся к исходной переменной: [latex]x^{ \log_5x }=5 \\\ \log_5x^{ \log_5x }=\log_55 \\\ \log_5x\log_5x}=1 \\\ \log^2_5x=1 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \log_5x=1\Rightarrow x_1=5^1=5\\ \log_5x=-1\Rightarrow x_2=5^{-1}= \frac{1}{5} \end{array}[/latex] Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: 5; 1/5.