Решите уравнение [latex](sin2x+cos2x)( \sqrt{3} + \sqrt{3tgx} )=0[/latex]

Произведение равно нулю, значит каждый множитель тоже приравниваем к нулю........      [latex]\sin2x +\cos 2x=0|:\cos 2x\\ tg2x+1=0\\ tg2x=-1\\ \\ 2x=- \frac{\pi}{4}+\pi n,n \in \mathbb{Z} |:2\\ x=- \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} ,n \in \mathbb{Z} [/latex] Тангенс положителен в 1 и 3 четвертях, значит уравнение будет иметь решение, если [latex]x=- \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(2k+1)}{2} =- \frac{\pi}{8} + \frac{2 \pi k+ \pi }{2} =- \frac{\pi}{8}+ \frac{\pi}{2} + \pi k=\boxed{ \frac{3\pi}{8} + \pi k,\, k\in \mathbb{Z}}[/latex] [latex] \sqrt{3} + \sqrt{3tg x} =0|: \sqrt{3} \\ 1+ \sqrt{tg x} =0\\ \sqrt{tgx} =-1[/latex] Это уравнение не имеет решение, так как левая часть уравнения принимает положительные значения, а правая - отрицательное значение