Решите уравнение (sin 2pi*x)+(cos pi*x)=0. В ответ запишите суммукорней уравнения, принадлежащих отрезку [-1;1].

[latex]sin2 \pi x+cos \pi x=0 \newline 2sin( \pi x)cos \pi x+cos \pi x=0[/latex] Тут применили формулу для синуса  двойного угла. [latex]cos( \pi x)*(2sin(\pi x)+1)=0[/latex] (2) Далее уравнение (2) "распадается " на 2 части. 1) [latex]cos \pi x=0[/latex]    (3) Решение [latex] \pi x= \frac{ \pi }{2} + \pi k[/latex] где k - целое. [latex] x=\frac{1}{2} + k [/latex] (4) 2) [latex]2sin( \pi x)+1=0[/latex]  (5) [latex]sin( \pi x)=-1/2 \newline \pi x=arcsin(-1/2)+2 \pi m=- \frac{ \pi }{6} +2 \pi m \newline [/latex] [latex] x=- \frac{1}{6} +2m[/latex] (6)  где m целое.  А также [latex]\pi x= \pi -arcsin(-1/2)+2 \pi l= \pi+ \frac{\pi}{6} +2 \pi l \\ \\ x= 1+ \frac{1}{6} +2 l= \frac{7}{6}+2l [/latex] [latex]x= \frac{7}{6} +2l[/latex]  (6a) Где l - целое. Все наборы корней нашли. Осталось выделить те из них, которые попадают в отрезок [-1; 1] Итак из набора (4) [latex] -1\leq \frac{1}{2}+k \leq 1[/latex] [latex]-1-\frac{1}{2}\leq k \leq 1-\frac{1}{2} \newline \newline -\frac{3}{2}\leq k \leq \frac{1}{2}[/latex] k=0 x₀=1/2 k=-1 x₋₁ = -1/2 Из набора (6) [latex] -1 \leq - \frac{1}{6} +2m \leq 1 \newline \newline -1+ \frac{1}{6} \leq 2m \leq 1+ \frac{1}{6} \newline \newline - \frac{5}{12} \leq m \leq \frac{7}{12}[/latex] m=0 x₃=-1/6 Из набора (6а) [latex]-1 \leq \frac{7}{6} +2l \leq 1 \\ \\ -1 -\frac{7}{6}\leq 2l \leq 1-\frac{7}{6} \\ \\ -\frac{13}{6}\leq 2l \leq -\frac{1}{6} \\ \\ -1\frac{1}{12}\leq l \leq -\frac{1}{12}[/latex] [latex]l=-1[/latex] [latex]x= \frac{7}{6} -2=- \frac{5}{6} [/latex] ОТВЕТ: Получаем  4 корня x=-1/2, x=1/2, x=-1/6, x=-5/6.