Решите уравнение: x^4+6x^3-21x^2+78x-16=0

Уравнение четвёртой степени имеет вид:    [latex] \alpha _0x^4+ \alpha _1x^3+ \alpha _2x^2+ \alpha _3x+ \alpha _4=0[/latex] Разделим обе части на коэффициент [latex] \alpha _0[/latex], получаем              [latex]x^4+ \alpha x^3+ bx^2+cx+d=0[/latex] где a, b, c, d –  произвольные вещественные числа. Уравнения вида приводится уравнение четвёртой степени, у которых отсувствует третьей степени., поэтому нужно сделать замену переменных, тоесть    [latex]x=i- \frac{ \alpha }{4} [/latex], где [latex] \alpha [/latex] - коэффициент перед х^3 и 4 - произвольные вещественные числа В нашем случае такое уравнение: [latex]x^4+6x^3-21x^2+78x-16=0[/latex] Заменим [latex]x=i- \frac{6}{4} =i-1.5[/latex], получаем  [latex](i-1.5)^4+6(i-1.5)^3-21(i-1.5)^2+78(i-1.5)-16=0\\ i^4-6i^3+13.5i^2-13.5i+5.0625+6i^3-27i^2+40.5i-20.25-21i^2+\\+63i-47.25+78i-117-16=0\\ i^4-34.5i^2+168i-195.4375=0[/latex] Получаем кубическое уравнение: [latex]2s^3-ps^2-2rs+rp- \frac{q^2}{4}=0 [/latex] В нашем случае: [latex]p=-34.5;\,\,\,\,q=168;\,\,\,\,r=-195.4375[/latex] Подставляем и получаем уравнение   [latex]2s^3+34.5s^2+2\cdot195.4375s+34.5\cdot195.4375- \frac{168^2}{4}=0\\ 64s^3-1104s^2+12508s-10029=0 [/latex] Разложим одночлены в сумму нескольких    [latex]64s^3-48s^2+1152s^2-864s+13372s-10029=0[/latex] Выносим общий множитель [latex]16s^2(4s-3)+288s(4s-3)+3343(4s-3)=0\\ (4s-3)(16s^2+288s+3343)=0\\ s=0.75[/latex] Уравнение 16s²+288s+3343=0 решений не имеет, так как D<0 Таким образом для решения уравнения остается квадратное уравнение [latex]i^2+i \sqrt{2s-p} - \frac{q}{2\sqrt{2s-p}}+s=0 [/latex] Заменяем   [latex]i^2+i\sqrt{2\cdot0.75+34.5}- \frac{168}{\sqrt{2\cdot0.75+34.5}} +0.75=0\\ 4i^2+24i-53=0\\ D=b^2-4ac=576+848=1424\\ i= \dfrac{-6\pm \sqrt{89} }{2} [/latex] Возвращаемся к замене   [latex]x=i-1.5=\dfrac{-6\pm \sqrt{89} }{2}- \dfrac{3}{2} =\dfrac{-9\pm \sqrt{89} }{2}[/latex] Окончательный ответ: [latex]\dfrac{-9\pm \sqrt{89} }{2}.[/latex]