Решите уравнение[latex] \sqrt{x} + x^{2} =18[/latex][latex] \sqrt{x} [/latex] и [latex] x^{2} [/latex] рассмотрим, как отдельные ф-ии. Ф-я [latex] y=\sqrt{x} [/latex] возрастающая и имеет смысл при x больше =0, y=x^2 тоже возра...

[latex]\sqrt x+x^2=18[/latex] ОДЗ: [latex]x\geqslant0[/latex] [latex]\sqrt x=t, \ \ t\geqslant0\\\\ t+t^4=18\\\\ t^4+t-18=0[/latex] Рассмотрим целые числители свободного члена 18: [latex]\pm1;\pm2;\pm3;\pm6;\pm9;\pm18[/latex] Подставляем в уравнение по порядку, пока не найдем нужное нам число. [latex]t=1& \Rightarrow&1+1-18\neq0\\ t=-1 &\Rightarrow&1-1-18\neq0\\ t=2&\Rightarrow&16+2-18=0[/latex] [latex]\boxed{t_1=2}[/latex] является корнем Значит, [latex](t^4+t-18):(t-2)[/latex] делится без остатка Делим в столбик: [latex]\arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrrrr@{\,}r|l} t^4&&&+t&-18&&\,t-2\\ \cline{7-7} t^4&-2t^3&&&&&\,t^3+2t^2+4t+9\\ \cline{1-2} &2t^3&+t&-18&\,\\ &2t^3&-4t^2&&\\ \cline{2-3} &&4t^2&+t&-18\,\\ &&4t^2&-8t&\\ \cline{3-4} &&&9t&-18\,\\ &&&9t&-1\\ \cline{4-5} &&&&0\\ \end{array} [/latex] [latex]t_4+t-18 \Longrightarrow(t-2)(t^3+2t^2+4t+9)=0[/latex] Ищем целочисленные корни кубического многочлена: [latex]t^3+2t^2+4t+9[/latex] [latex]9: \ \pm1; \pm3;\pm9[/latex] [latex]\pm1[/latex] мы проверяли, не подходило [latex]t=3\Rightarrow 27+2\cdot9+4\cdot3+9\neq0[/latex] Вообще, очевидно, что [latex]t\ \textgreater \ 0[/latex] не подходит сразу, поэтому [latex]t=9[/latex] не проверяем. [latex]t=-3\Rightarrow-27+2\cdot9-12+9=-12\neq0\\\\ t=-9\Rightarrow(-9)^3+2\cdot(-9)^2-4\cdot9+9=-729+162-36+9\neq0[/latex] Таким образом, целочисленных решений нет, а дробные не подходят в начальном уравнении [latex]t=2\Rightarrow x=t^2=\boxed{4}[/latex] Исследуем графически: [latex]\sqrt x+x^2=18\\ \sqrt x=18-x^2[/latex]   График прилагается Решением является [latex]x=4[/latex] Ответ: [latex]x=4[/latex]