Решите задачу. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см^2 , а его гипотенуза равна 10 см. Найдите катеты треугольника?

Пусть a,b - катеты прямоугольного треугольника. с=10 см. S=24 см^2. [latex]S= \frac{1}{2}ab [/latex] [latex]c^2=a^2+b^2;\\S= \frac{1}{2}ab;\\2S=ab;\\ \left \{ {{ab=2*24;} \atop {a^2+b^2=100;}} \right.\\ a= \frac{48}{b};\\(\frac{48}{b})^2+b^2=100;\\ \frac{48^2}{b^2}+b^2=100;\\ \frac{2304+b^4-100b^2}{b^2}=0;\\ b^4-100b^2+2304=0;\\b^2=t;\\ t^2-100t+2304=0;\\D=10000-9216=784=28^2;\\ [/latex][latex] \\ t_1= \frac{100+28}{2}=64; \\t_2= \frac{100-28}{2}=36; [/latex] [latex] \left [ {{b^2=36;} \atop {b^2=64;}} \right. \left [ {{b_1=6; b_2=-6;} \atop {b_3=8; b_4=-8.}} \right. [/latex] Длина - величина положительная, значит, [latex] \left \{ {{b_1=6 cm;} \atop {b_2=8 cm;}} \right. \\1. b=6 cm => a=\sqrt{100-36}=8 cm; \\2. b=8 cm => a=\sqrt{100-64}=6 cm; \\=> a=6 cm; b=8 cm. [/latex] Либо наоборот.