Решите:x^2-3xy+2y^2=3

 [latex] x^2-3xy+2y^2=3\\ x^2-3xy+2y^2-3=0\\ [/latex] нужно как то выразить [latex]y[/latex], поступим так , решим квадратное уравнение относительно этой переменной     [latex]x^2-3xy+2y^2=3\\ 2y^2-3xy+x^2-3=0\\ D= \sqrt{9x^2-4*2*(x^2-3)} = \sqrt{x^2+24}\\ y=\frac{3x+\sqrt{x^2+24}}{4} \\ y=\frac{3x-\sqrt{x^2+24}}{4}\\ [/latex] ⇒[latex]y=\frac{3x-\sqrt{x^2+24}}{4} \\ [/latex] с выражение ⇒[latex] \sqrt{x^2+24}[/latex] следует то что х должен быть таким что бы само выражение была квадратом какого то числа очевидно подходит x=5, так как выходит что  ⇒7^2 тогда у = 2, видно что и  x=-5 подходит, тогда  y=-2, видно что и x=+- 1 подходит тогда  у=+-2  и того ответ (5;2) (-5;-2)  (-1;-2)   (1;2) Докажем что больше нет таких чисел целых  [latex] \sqrt{x^2+24}=n\\ x^2+24=n^2\\ n^2-x^2=24\\ (n-x)(n+x)=24\\ [/latex] так как х целое то и n целое,тогда возможны такие варианты только  [latex] \left \{ {{n-x=2} \atop {n+x=12}} \right. \\ \left \{ {{n-x=4} \atop {n+x=6}} \right. \\ \left \{ {{n-x=1} \atop {n+x=24}} \right.\\ \left \{ {{n-x=3} \atop {n+x=8}} \right. [/latex] с учетом того что первые две системы уже были решены и их ответы уже известны  написанные жирным шрифтом, что касается о последних решая их мы не получим целых чисел , соответственно это и будут решения  n-это какое то определенно  целое число 

x^2-3xy+2y^2=3 x^2-2xy+y^2+y^2-xy=3 (y-x)^2+y(y-x)=3 (y-x)(y-x+y)=3 (y-x)(2y-x)=3 1. y-x=1 2y-x=3 2y-x-y+x=2 y=2 x=1 2. y-x=3 2y-x=1 2y-x-y+x=1-3 y=-2 x=-5 3. y-x=-1 2y-x=-3 2y-x-y+x=-3+1 y=-2 x=-3 4. y-x=-3 2y-x=-1 2y-x-y+x=-1+3 y=2 x=5