Шахматный конь начинает  свой маршрут в левом нижнем углу доски, а заканчивает его в правом верхнем углу.Может ли конь при этом побывать на всех полях доски по одному разу? Заранее спасибо

Нет. Конь ходит так, что при каждом ходе обязательно меняет цвет клетки, на которой стоит (с чёрной ходит только на белую, с белой только на чёрную). Чтобы обойти все клетки, коню нужно сделать 63 хода, но тогда последняя клетка не будет того же цвета, что и начальная клетка.