Шарик падает с высоты 2 м на гладкую поверхность.После каждого удара остается 81 процент энергии.Найти время,когда шарик остановится

Окей, пусть при первом подлете шарик имел кинетическую энергию E, тогда после первого отскока будет kE, после второго k²E и так далее. k=0.81. Итак, на n-m шаге энергия, с которой взлетает шарик равна [latex]E_n = k^nE = k^nmgh[/latex] где h - начальная высота шарика. Скорость после n-го отскока равна [latex]v_n = \sqrt{2E_n/m} = \sqrt{2ghk^n}[/latex] Хорошо известно, что время подъема вверх и полета вниз после n-го отскока составит [latex]\tau_n = \frac{2v_n}{g}=\frac{2}{g}\sqrt{2ghk^n} = (\sqrt{k})^n\sqrt{\frac{8h}{g}}[/latex] А время, за которое шарик остановится равно времени первого полета вниз плюс сумма времен всех отскоков [latex]\displaystyle T = \sqrt{\frac{2h}{g}}+\sum\limits_1^\infty(\sqrt{k})^n\sqrt{\frac{8h}{g}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}\left(1+2\frac{\sqrt{k}}{1-\sqrt{k}}\right) =\frac{1+\sqrt{k}}{1-\sqrt{k}}\sqrt{\frac{2h}{g}}[/latex] В вычислении суммы нам помогла формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии