Sin2x-cos2x=tgx.можно ли обе части уравнения разделить на cosx?

конечно можно. применив формулы двойного угла. sin2x=2sinx*cosx, cos2x=cos^2x-sin^2x.

Деление на cos x  в данном уравнении возможно, потому что соs x подразумевается отличным от нуля, так как написан в знаменателе у tgx. Но как метод решения уравнения (деление на косинус в данном уравнении) не  правильный. Так как имеются разные аргументы 2х и х, то надо заменить аргумент 2х на х по формулам sin2x=2·sinx·cosx cos2x=cos²x-sin²x=1-sin²x-sin²x=1-2·sin²x 2·sinx·cosx-(1-2sin²x)=tgx 2·sinx·cosx-1+2sin²x-(sinx/cosx)=0 Теперь умножим все уравнение на cosx, при этом cosx≠0 иначе tgx не существует. 2·sinx·cos²x-cosx+2sin²x·cosx-sinx=0, Разложим на множители, группируем первое и третье слагаемые, второе и четвертое: 2·sinx·cosx(cosx+sinx)-(cosx+sinx)=0, (cosx+sinx)(2sinx·cosx-1)=0 Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю: 1) cosx+sinx=0 - однородное уравнение, делим на cosx≠0    tgx=-1    x=-π/4  + πk, k ∈Z 2) 2·sinx·cosx-1=0      sin2x=1,      2x=π/2  + 2πn,  n∈Z      x=π/4 +πn ,  n ∈ Z Ответ. x=-π/4  + πk, x=π/4 +πn , k, n ∈ Z два ответа можно записать как один ответ х=π/4 + πm/2,  m∈Z