Sin3x+sin7x=2sin5x Сколько корней имеет данное уравнение на промежутке [0;[latex] \pi [/latex]] ?

sin3x + sin7x =2sin5x    Отрезок:[0; π] Воспользуемся формулой суммы синусов и перейдем в левой части к произведению: 2sin5x*cos2x = 2sin5x Или, разложив на множители: sin5x(cos2x - 1) = 0 Получим две группы решений: sin5x = 0                         cos2x = 1 5x=πk                             2x = 2πn,           k,n ∈ Z x = πk/5                          x = πn Эти решения можно объединить в одно: x = πk/5 , так как решения x = πn находятся внутри области решений x = πk/5 Теперь подсчитаем корни, принадлежащие заданному промежутку: 0 ≤ πk/5 ≤ π Сократив на π и умножив на 5, получим: 0 ≤ k ≤ 5 На отрезке от 0 до 5 находится ровно 6 целых чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ответ: 6