Sin^4+cos^4+sin2x=a. В ответ записать наибольшее значение а, при котором уравнение имеет корни.

[latex]\sin^4x+\cos^4x+\sin2x=a\\ (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x+\sin2x=a\\ 1- \frac{\sin^22x}{2} +\sin2x=a|\cdot2\\ 2-\sin^22x+2\sin2x=2a\\ \sin^22x-2\sin2x+2a-2=0[/latex] Сделаем замену:  [latex]\sin2x=t[/latex] причем [latex]|t| \leq 1[/latex] получаем: [latex]t^2-2t+2a-2=0\\ D=b^2-4ac=4-4(2a-2)=12-8a\\ t= \frac{2\pm \sqrt{12-8a} }{2a} =1\pm \sqrt{3-2a} [/latex] Определяем при каком параметра [latex]a[/latex] уравнение имеет решение. [latex]|t| \leq 1[/latex] - значение Синуса. [latex]-1 \leq t \leq 1\\ -1 \leq 1+ \sqrt{3-2a} \leq 1|-1\\ -2 \leq \sqrt{3-2a} \leq 0[/latex] Очевидно, что решением неравенства есть [latex]a=1.5[/latex] [latex]-1 \leq 1- \sqrt{3-2a} \leq 1|-1\\-2 \leq - \sqrt{3-2a} \leq 0\\ 0 \leq 3-2a \leq 4 |-3\\ -3 \leq -2a \leq 1|:(-2)\\ -0.5 \leq a \leq 1.5[/latex] При [latex]a \in [-0.5;1.5][/latex] уравнение имеет корни. [latex]a=1.5[/latex] - наибольшее значение параметра [latex]a[/latex] Ответ: [latex]a=1,5.[/latex]

sin⁴x+cos⁴x+sin2x=a. Заметим,что (sin²x+cos²x)²=sin⁴x+cos⁴x+2sin²xcos²x=1, sin⁴x+cos⁴x=1-0,5sin²2x.       Тогда имеем: 1-0,5sin²2x+sin2x=a,1 -0,5sin²2x+sin2x-a=0   0,5sin²2x-sin2x+a-1=0, Нехай  sin2x=t,тогда получаем:0.5t²-t+a-1=0, D=1²-4·0,5·(a-1)≥0,1-2a+2=3-2a≥0,-2a≥-3,a≤1,5 Ответ:1.5