Сколько нулей после запятой (до первого отличного от нуля десятичного знака) имеет десятичная запись числа [latex]a=10^{10^{-10}} ??[/latex]

Пусть десятичная запись  числа [latex]a=10^{10^{-10}}[/latex] имеет вид[latex]1,00...0m...,[/latex]где [latex]m\neq 0, \,\,\,\,\,\,n=00...0[/latex] Тогда                                                             [latex]1 + 10^{-n-1} < a < 1+10^{-n}[/latex] Откуда получаем  [latex]\lg (1+10^{-n-1})<\lg a=10^{-10}<\lg (1+10^-^n})[/latex]Используем неравенства [latex]x-0.5\cdot x^2 < \ln(1+x) < x[/latex] при [latex]0 < x < 1[/latex] ( для доказательства их достаточно исследовать с помощью производной на промежутке (0;1) функции [latex]f(x)=\ln (1+x)-x+0.5x^2[/latex] и [latex]g(x)=\ln (1+x)-x[/latex]Получаем[latex]\dfrac{10^{-n-1}-0.5\cdot 10^{-2n-2}}{\ln10} < \lg (1+10^{-n-1}) < 10^{-10} < \lg (1+10^{-n}) < \dfrac{10^{-n}}{\ln 10}[/latex] Из неравенства         [latex] \dfrac{10^{-n-1}-0.5\cdot 10^{-2n-2}}{\ln10} < 10^{-10} < \dfrac{10^{-n}}{\ln 10} [/latex]получаем, что n=9 Ответ: 9 нулей