Сколько существует натуральных n, меньших 1043, таких что уравнение a^2+b^2=11^n имеет решение в целых числах?

Случай натуральных . Проанализируем четности. Правая часть всегда не четная. Т.е. выражение слева обязано быть не четным, а это будет в том и только том случае, если и разной четности. Так как и входят в уравнение симметрично, то не нарушая общности принимаем, что - четное, а - не четное. Т.е. и . Тогда Получили, что левая часть уравнения при делении на 4 дает остаток 1. Правая же часть уравнения при делении на 4 дает остатки 1 и 3, при чем, если , где и - натуральные числа, то остаток от деления на 4 всегда равен 1, а если , где - натуральное число, а целое, при чем больше равное нуля, число, то остаток от деления всегда равен 3. Значит у нас осталась лишь одна возможность: , где - любое натуральное число. Теперь наше уравнение свелось к уравнению: , где и - любые целые числа, а - любое натуральное число - по начальным предположениям. С помощью математической индукции можно доказать, что - всегда парное число, при указанном , и более того, всегда кратно . Теперь у нас есть варианты: 1) и - после деления на два, результат этого деления будет давать остаток от нового деления на два 1. числа при делении на 2 дают в остатке 0 и 8. этот случай не возможен 2) и - остаток от деления на 4 равен 1 - остаток от деления на 4 всегда равен 2. этот случай не возможен 3) и - остаток от деления на 2 равен 1 - остаток от деления на 2 всегда равен 0. этот случай не возможен 4) и - остаток от деления на 2 равен 1 - остаток от деления на 2 всегда равен 0. этот случай не возможен Т.е. доказано, что изначальное уравнение не имеет решений в целых при любом натуральном . Ответ: 0 штук натуральных P.S.Решения в целых числах для указанного уравнения возможны лишь в одном случае, если .