Спростіть вираз [latex] \frac{1}{sin \alpha + sin 3 \alpha } + \frac{1}{sin 3 \alpha + sin 5 \alpha } [/latex] та обчисліть, якщо [latex] \alpha = \frac{ \pi }{12} [/latex]

[latex] \frac{1}{2sin( \frac{ \alpha +3 \alpha }{2} )cos( \frac{3 \alpha - \alpha }{2} )} + \frac{1}{2sin( \frac{ 5\alpha +3 \alpha }{2} )cos( \frac{5 \alpha - 3\alpha }{2} )} =[/latex][latex] \frac{1}{2sin(2 \alpha )cos( \alpha )} [/latex] [latex] +\frac{1}{2sin(4 \alpha )cos( \alpha )} =[/latex] [latex] \frac{1}{2sin( 2 \alpha )cos( \alpha )} + \frac{1}{4sin( 2 \alpha )cos(2 \alpha )cos( \alpha )}[/latex][latex]=\frac{1}{2sin( 2 \alpha )cos( \alpha )}*[/latex][latex](1+ \frac{1}{2cos(2 \alpha )} )= \frac{1}{2*1/2*cos( \pi /12)}(1+ \frac{1}{2*( \sqrt{3}/2 )})= \frac{1}{cos( \pi /12)} ( \frac{ \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}) = [/latex][latex] \frac{1}{cos( \frac{ \pi }{3}- \frac{ \pi }{4} )} \frac{1+ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{1}{cos( \pi /3)cos( \pi /4)+sin( \pi /3)sin( \pi /4)} \frac{1+ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }= \frac{4}{ \sqrt{2}(1+ \sqrt{3} ) } \frac{1+ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }[/latex][latex]= \frac{2 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } [/latex]