СРОЧНО! ПРОШУ! Отмечу, как лучший ответ!!!!! [latex]sin(x- \pi /2)+sin(x+3 \pi /2)= \sqrt{2} [/latex]

[latex] \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } + \sin{ ( x + \frac{3}{2} \pi ) } = \sqrt{2} \ ; [/latex] Учтём, что тригонометрические функции периодичны, в том числе, всегда верно, что: [latex] \sin{a} = \sin{ ( a + 2 \pi ) } = \sin{ ( a - 2 \pi ) } = \sin{ ( a + 4 \pi ) } = \sin{ ( a - 4 \pi ) } \ \ \ \ [/latex]    и т.д., поскольку период синуса равен [latex] 2 \pi \ . [/latex] Поэтому: [latex] \sin{ ( x + \frac{3}{2} \pi ) } = \sin{ ( x + \frac{3}{2} \pi - 2 \pi) } = \sin{ ( x + ( \frac{3}{2} - 2 ) \pi) } = \\\\ = \sin{ ( x + ( -\frac{1}{2} ) \pi) } = \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } \ ; [/latex] Подставим это выражение в исходное уравнение: [latex] \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } + \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } = \sqrt{2} \ ; [/latex] [latex] 2 \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } = \sqrt{2} \ ; [/latex] [latex] \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \ ; [/latex] далее, два способа: [[[ 1-ый способ ]]] [latex] x - \frac{ \pi }{2} = \frac{ \pi }{2} \pm \frac{ \pi }{4} + 2 \pi n , n \in Z \ ; [/latex] [latex] x = \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{2} \pm \frac{ \pi }{4} + 2 \pi n , n \in Z \ ; [/latex] [latex] x = \pi \pm \frac{ \pi }{4} + 2 \pi n , n \in Z \ ; [/latex] [latex] x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ ; [/latex] [[[ 2-ой способ ]]] [latex] \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } = - \sin{ ( \frac{ \pi }{2} - x ) } = - \cos{x} \ ; [/latex] [latex] \cos{x} = -\frac{ \sqrt{2} }{2} \ ; [/latex] [latex] x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ ; [/latex] О т в е т : [latex] x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ . [/latex] [[[ 3-ий способ ]]] [latex] \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } + \sin{ ( x + \frac{3}{2} \pi ) } = \sqrt{2} \ ; [/latex] Воспользуемся формулой: [latex] \sin{a} + \sin{b} = 2 \sin{ \frac{a+b}{2} } \cos{ \frac{a-b}{2} } \ ; [/latex] [latex] \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } + \sin{ ( x + \frac{3}{2} \pi ) } = 2 \sin{ \frac{ [ x - \pi/2 ] + [ x + 3\pi/2 ] }{2} } \cos{ \frac{ [ x - \pi/2 ] - [ x + 3\pi/2 ] }{2} } = \\\\ = 2 \sin{ \frac{ 2x + \pi }{2} } \cos{ \frac{ -2\pi }{2} } = 2 \sin{ ( x + \frac{ \pi }{2} ) } \cos{ \pi } = -2 \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } \cdot (-1) = \\\\ = - 2 \sin{ ( \frac{ \pi }{2} - x ) } = - 2 \cos{x} \ ; [/latex] Тогда исходное уравнение можно переписать, как: [latex] - 2 \cos{x} = \sqrt{2} \ ; [/latex] [latex] \cos{x} = -\frac{ \sqrt{2} }{2} \ ; [/latex] [latex] x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ ; [/latex] О т в е т : [latex] x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ . [/latex] .