Сумма длин вписанной и описанной окружностей правильноготреугольника равна 7*Корень из 3*Пи см. Найдите периметр треугольника

радиус окружности, описанной около треугольника [latex]R = \frac {a}{2\sin\alpha} = \frac {a}{2\sin 60} = \frac {a}{\sqrt{3}}[/latex] радиус вписанной окружности для правильного треугольника равен половине радиуса описанной окружности [latex]r = R/2[/latex] Т.к вписанный треугольник является описанным для треугольника, соединяющего середины высот исходного треугольника. Который в два раза меньше   по условию [latex]2\pi (R+r) = 7 \sqrt{3}\pi[/latex] подставляя значение R и r, имеем [latex]3 \frac {a}{\sqrt{3}} = 7 \sqrt{3} [/latex] [latex]3 a = 21[/latex] Искомый периметр равен 21  

 а -  сторона правильного тр-ка, sqrt - это корень квадратный. Радиус окружности, вписанной в правильный тр-к r = a/(2sqrt(3), а радиус окружности, описанной около правильного тр-ка R = a/sqrt(3) Длина окружностей: С оп = 2 pi  * R, С вп = 2 pi  * r/ С оп + С вп = 2 pi  * (R + r) По условию: 2 pi  * (R + r) = 7 pi * sqrt(3) или 2 (R + r) = 7 sqrt(3) Подставим сюда формулы для r и R 2 (a/sqrt(3) +a/(2sqrt(3)) = 7 sqrt(3) Приведём выражение к общему знаменателю, который равен 2 sqrt(3) 4a/2sqrt(3) +2a/2 sqrt(3) = 7 sqrt(3)* 2 sqrt(3)/7 sqrt(3) Если у равных дробей равны знаменатели, то равны и числители: 4a +2a = 14 * 3 6a = 42 а = 7 Периметр правильного тр-ка Р = 3а = 3 * 7 = 21(см)