Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 15 см.каковы должны быть их длина чтобы гипотенуза треугольника была наименьшей

Пусть a и b - катеты, с - гипотенуза. Тогда по условию: a+b=15 => a=15-b c=√(a²+b²) - по теореме Пифагора [latex]y= \sqrt{a^{2}+b^{2}} [/latex] - нужно найти минимум функции [latex]y= \sqrt{(15-b)^{2}+b^{2}}=\sqrt{225-30b+b^{2}+b^{2}}=\sqrt{225-30b+2b^{2}}[/latex] Для нахождения минимума функции нужно найти ее производную и приравнять к нулю: [latex]y'=(\sqrt{225-30b+2b^{2}})'= \frac{4b-30}{2\sqrt{225-30b+2b^{2}}}=\frac{2b-15}{\sqrt{225-30b+2b^{2}}}=0[/latex] [latex]2b-15=0[/latex] [latex]b=7.5\ \textgreater \ 0[/latex] - минимум функции, т.к. при переходе через эту точку производная меняет свой знак с минуса на плюс, тогда: [latex]a=15-b=15-7.5=7.5[/latex] Ответ: катеты должны равнять по 7,5 см., чтобы гипотенуза была наименьшей.