Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей. С подробным решением!

пусть катеты a и b, тогда a+b=40 площадь треугольника это полупроизведение катетов, т.е. S=0,5*a*b  если из a+b=40 выразить b и подставить в площадь, то получится b=40-a S=0,5*a*(40-a)=20a-0,5a^2 нам нужно наибольшее значение площади, берем производную S'=20-a получается при a=20 будет наибольшая площадь если a=20, то и b=20 ответ: 20 и 20

[latex]x+y=40 \\ S= \frac{xy}{2} \\ x+y=40\Rightarrow x=40-y \\ S(y) =\frac{(40-y)y}{2}= \frac{1}{2}(40-y)y \\ S'(y)= \frac{1}{2}[(40-y)'y+(40-y)y'] \\ S'(y)= \frac{1}{2}[(-1)y+(40-y)*1] \\ S'(y)= \frac{1}{2}(-y+40-y)= \frac{1}{2}(40-2y)=20-y \\ S'(y)=0\iff 20-y=0\iff y=20 \\ S''(y)=(20-y)'=-1\ \textless \ 0\Rightarrow S_{MAX}= \frac{20*20}{2}=200 \\ y=40-x=40-20=20 \\ x=y=20 [/latex]