Сумма кубов членов бесконечной геометрической прогрессии относится к сумме квадратов её членов, как 20 : 21. Найдите третий член прогрессии, если сумма первых двух членов равна 1,25

Сумма кубов членов геометрической прогрессии: [latex]S_n=b_1^3*{1-q^{3n}\over1-q^3}[/latex] В пределе при n стремящемся к бесконечности: [latex]S={b_1^3\over1-q^3}[/latex] аналогично для квадратов: [latex]S={b_1^2\over1-q^2}[/latex] Из условия: [latex]{b_1^3\over1-q^3}:{b_1^2\over1-q^2}={b_1*(1+q)\over1+q+q^2}=20:21[/latex] Кроме того: [latex]b_1+b_1q=1.25[/latex] [latex]{b_1*(1+q)\over1+q+q^2}=20:21\\b_1+b_1q=1.25\\\\{1.25\over1+q+q^2}={20\over21}\\\\20q^2+20q-6.25=0\\D=400+500=900\\q_1={1\over4}\\q_2=-{5\over4} - unsuitable[/latex] [latex]{5\over4}b_1=1.25\\b_1=1\\\\b_3=b_1*q^2={1\over16}[/latex]

[latex]b_n = b_1q^{n-1}, b_n^2 = b_1^2 (q^2)^{n-1}, b_n^3 = b_1^3 (q^3)^{n-1}[/latex] Для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии справедлива формула: [latex]S = \frac{b_1}{1 -q} [/latex] Значит для второй и третьей последовательности (квадратов и кубов) справедливо: [latex]S_1 = \frac{b_1^2}{1 -q^2}, S_2 = \frac{b_1^3}{1 - q^3} [/latex] Нам известно, что: [latex] \frac{S_2}{S_1} = \frac{20}{21} = \frac{\frac{b_1^3}{1 -q^3} }{\frac{b_1^2}{1 -q^2}} = b1\frac{1 - q^2}{1 - q^3}[/latex] И известно: [latex]b1 + b1q = 1,25 = b1(1 + q)[/latex] Получаем: [latex]b1\frac{1 - q^2}{1 - q^3} = b1\frac{(1 - q)(1 + q)}{1 - q^3} = \{b1(1 + q) = 1,25\} = 1,25 \frac{1 + q}{1 - q^3} = \frac{20}{21}[/latex] [latex]\frac{5}{4} \frac{1 - q}{1 - q^3} = \frac{20}{21}[/latex] [latex]\frac{1 - q}{1 - q^3} = \frac{16}{21}[/latex] Получаем уравнение [latex]16q^3 - 21q + 5 = 0[/latex] Перебором делителей свободного члена находим, что корнем является q = 1 (который, нам, однако, не подходит, поскольку |q| должен быть меньше 1 т.к. прогрессия бесконечно убывает) и поделив на q - 1 получаем: [latex]16q^2 + 16q - 5 = 0 [/latex] Находя корни квадратного уравнения, получаем: [latex] q_1 = \frac{1}{4}, q_2 = -\frac{5}{4}[/latex] Из которых (по причине, описанной ранее) подходит только 1/4. Дальше из условия [latex]b1(1 + q) = 1,25 [/latex] находим, что [latex]b_1 = 1[/latex], а третий член равен [latex]b1q^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}[/latex]