Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 4, а произведение этих же чисел равно -32. Найдите третий член прогрессии.

a₅ = a₁ + d(5 - 1) =  a₁ + 4d. По первому условию:  a₁ + a₁ + 4d = 4,  2a₁ + 4d = 4. a₁ + 2d = 2. Отсюда a₁ = 2 - 2d. По второму условию: a₁ * (a₁ + 4d) = -32. Заменим a₁ на 2 - 2d: (2 - 2d)(2 - 2d + 4d) = -32, (2 - 2d)(2 + 2d) = -32, 4 - 4d² = -32   сократим на 4, 1 - d² = -8, d² = 1 + 8 = 9, d = √9 = +-3. Примем первое значение d = 3.  a₁ = 2 - 2*3 = 2 - 6 = -4, a₅ =  a₁ + 4d = -4 + 4*3 = -4 + 12 = 8. Проверяем условие: а₁ + а₅ = -4 + 8 = 4, а₁*а₅ = (-4)*8 = -32. Примем второе значение d = -3.  a₁ = 2 - 2*(-3) = 2 + 6 = 8, a₅ =  a₁ + 4d = 8 + 4*(-3) = 8 - 12 = -4. Проверяем условие: а₁ + а₅ = 8 - 4 = 4, а₁*а₅ = 8*(-4) = -32. Оба варианта верны, значит задача имеет два варианта ответа. Третий член прогрессии равен: по первому варианту: a₃ = a₁ + d(3 - 1) =  a₁ + 2d а₃ = -4 + 2*3 = -4 + 6 = 2. По второму варианту: а₃ = 8 +2*(-3) = 8 - 6 = 2. В обоих вариантах значения третьего члена прогрессии совпадают.