Точка М одинаково удалена от всех вершин правильного треугольника АВС и от его плоскости на 6см. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника, если его сторона равна 8 корень из 3см.

Находим высоту (она же биссектриса и медиана) основания: [latex]\sqrt{(8\sqrt3)^2-(4\sqrt3)^2}=\sqrt{192-48}=\sqrt{144}=12[/latex] см Далее вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины (нам нужна 1/3), находим апофему боковой грани: [latex]\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}[/latex] см Искомое расстояние (ребро пирамиды): [latex]\sqrt{(4\sqrt5)^2+(4\sqrt3)^2}=\sqrt{80+48}=\sqrt{128}=8\sqrt2[/latex] см