Точка м равноудалена от всех сторон ромба ,находится на расстоянии 2 см от плоскости ромба.Найдите расстояние от точки М до вершин ромба ,если его диагонали 12 см и 16 см

Пусть проекция точки [latex]M[/latex] на плоскость ромба -- точка [latex]H[/latex]. Пусть основания перпендикуляров  из [latex]M[/latex] на стороны ромба -- [latex]M_1, M_2, M_3, M_4[/latex] (не важно, в каком порядке). Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, отрезки [latex]HM_1, HM_2, HM_3, HM_4[/latex] перпендикулярны отрезку [latex]MH[/latex]. Таким образом, мы получаем четыре прямоугольных треугольника: [latex]MHM_1, ..., MHM_4[/latex], у которых общий катет [latex](MH)[/latex] и равны гипотенузы (по условию [latex]MM_1=MM_2=MM_3=MM_4[/latex]), значит, все эти прямоугольные треугольники равны друг другу. Значит, [latex]HM_1=HM_2=HM_3=HM_4[/latex], таким образом, точка [latex]H[/latex] так же равноудалена от сторон ромба, то есть лежит в центре вписанной окружности ромба, то есть на пересечении биссектрис, то есть это точка пересечения диагоналей (т. к. в ромбе диагонали являются биссектрисами).Пусть вершины ромба -- [latex]A, B, C, D[/latex] (так, что диагональ [latex]AC = 16[/latex], а диагональ [latex]BD = 12[/latex]). Тогда расстояние [latex]MA[/latex] является гипотенузой прямоугольного треугольника [latex]MHA[/latex], катет [latex]MH[/latex] которого нам дан в условии, а катет [latex]HA[/latex] находим исходя из того, что точка [latex]H[/latex] -- точка пересечения диагоналей в ромбе, поэтому делит их пополам. Значит,[latex]HA=\frac{16}{2}=8 [/latex]. По теореме пифагора находим [latex]MA[/latex]. [latex]MA = \sqrt{8^2+2^2} = 2\sqrt{17}[/latex]. [latex]MA = MC[/latex], т. к. прямоугольные треугольники [latex]MHA[/latex] и [latex]MHC[/latex] равны по двум катетам. Абсолютно аналогично находим [latex]MB = MD[/latex]. [latex]MB=MD=\sqrt{{MH}^2+{HB}^2}=\sqrt{MH^2+(\frac{BD}{2})^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}[/latex]

Перефразируем : вершина M пирамиды равноудалена от всех сторон основания (ромба  ABCD ), высота MO=2 . Пусть AC =16 см ; BD =12 см. Найти боковые ребра . Условие подсказывает, что высота проходит через центр O окружности вписанной в основании (ромб). Эта точка пересечения диагоналей AC и  BD. AO=CO =AC/2 =16 см/2 =8 см ; BO =CO =BD/2 =6 см.  Из ΔAOM по теореме Пифагора:  MA = √(AO² +MO²) =√(8² +2²) =√68 =√4*17 =2√17 (см). MC =MA = 2√17 см.  Аналогично найдем MB =MD =√(BO² +MO²) =√(6² +2²) =√40=√4*√10=2√10 ((см). ответ : 2√17 см  ; 2√10 см .