Третья и последняя (на сегодня), выручайте!!!

пусть образующая а , диаметр основания b. рассмотрим центральное сечение - равнобедренный треугольник со сторонами а а b радиус шара r = b/2*√((2a-b)/(2a+b)) - вписанная окружность в равнобедренный треугольник. по условию 4πr^2/(πb^2/4) = 4/3 откуда (2а-b)/(2a+b)=1/3 2a-b=2/3a+1/3b a=b треугольник равносторонний. угол 60 градусов. π/3

В конус вписан шар. Поверхность шара относится к площади основания как 4:3. Найти угол при вершине конуса.  Вариант решения. Сделаем рисунок-схему конуса с вписанным шаром с центром О и радиусом ОН=r .  ∆ АВС - равнобедренный с боковыми сторонами - образующими конуса, и основанием - его диаметром. ВН - высота конуса. СН=R- радиус его основания. Площадь основания -πR²  Площадь сферы 4πr²   По условию 4πr²:πR² =4/3.                                                                               После сокращения получаем r²/R² =1/3, откуда r/R=1/√3 В ∆ ОСН r/R=tg∠ВСН=1/√3, и это тангенс ∠=30°. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис. СО- биссектриса ∠ВСН.                                              Следовательно ∠ВСН=2 ∠ОСН=60° Тогда ∠ ВАС=∠BCA=60°, и  искомый ∠АВС=60° или π/3.