Три ребра и диагональ прямоугольного параллелепипеда образуют арифметическую прогрессию с разностью d . Найти объѐм прямоугольного параллелепипеда.

Три ребра a, b, с и диагональ m образуют прогрессию с разностью d. b = a + d, с = a + 2d, m = a + 3d. По теореме Пифагора m^2 = a^2 + b^2 + c^2 (a + 3d)^2 = a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 a^2 + 6ad + 9d^2 = a^2 + a^2 + 2ad + d^2 + a^2 + 4ad + 4d^2 9d^2 = 2a^2 + 5d^2 4d^2 = 2a^2 2d^2 = a^2 a = d*V(2) Объем параллелепипеда V = abc = a*(a + d)*(a + 2d) = d*V(2)*(d*V(2) + d)*(d*V(2) + 2d) V = d^3*V(2)*(V(2) + 1)*(V(2) + 2)

Обозначим стороны параллелепипеда как a, (a+d), (a+2d). Диагональ (a+3d). Диагональ равна √((a²) + (a+d)² + (a+2d)²). После раскрытия скобок и приведения подобных, получим (a+3d) = √(3а² + 6ad + 6d²). Возведем обе части в квадрат: а² + 6ad + 9d² = 3а² + 6ad + 6d² 2а² = 3d²     d = а√(2/3). Объём равен V =  a* (a+d)* (a+2d) = а² + 3a²d + 2аd². Подставив вместо d его значение, получим V = a³(7 + 3√6).